Глава 1: Двумерный мир

Гиппарх рассказывает, как с помощью двух чисел можно задать положение точки на сфере.
Потом он объясняет идею стереографической проекции: как можно изобразить поверхности Земли на листе бумаги.

1. Рассказчик

Гиппарх— главный герой нашей истории, но не стоит воспринимать все его слова буквально! Он утверждает, что является основоположником географии и астрономии. Это некоторое преувеличение: вряд ли это мог сделать один человек. Путешественники во все времена описывали свои плавания, а пастухи всегда смотрели на звезды. Очень редко человек в одиночку создаёт целую науку. Тем не менее, отдадим должное Гиппарху как одному из величайших мыслителей древности.



О жизни Гиппарха известно очень мало. Он родился около 190 г. до н.э., а умер около 120 г. до н.э. В этой статье можно найти его краткое жизнеописание, а на этом сайте — более полную биографию. Однако нет никаких сомнений в том, что наш герой одним из первых составил звёздный каталог и с удивительной точностью измерил положение звёзд на небесной сфере. Астрономы почтили память Гиппарха, назвав один из кратеров на луне его именем. Эрже отправил Тантана в этот кратер в Explorers on the Moon, написав, что le cirque d'Hipparque n'a pas besoin de clowns, donc vous ne pouvez pas faire l'affaire...



Второй герой этой статьи — великий астроном и географ Птолемей, живший на три века позднее, между 85 и 135 г.н.э. Работы Гиппарха оказали на него большое влияние, хотя историки по-разному оценивают значение этого влияния. Использовал ли Птолемей измерения Гиппарха, или делал свои? Этот сложный вопрос мы оставим специалистам.

Краткую биографию Птолемея можно прочитать здесь, а более подробное исследование можно найти на этом сайте. И будьте уверены, именем Птолемея тоже назван один из кратеров на Луне!


2. Широта и долгота

Чему же научат нас Гиппарх и Птолемей в первой главе? Они введут понятие, которое сейчас называется системой координат.



Земля круглая. Мы знаем об этом очень давно, и даже до первого кругосветного путешествия греческие геометры нашли способ довольно точно измерить длину экватора Земли (об этом можно прочесть, например, на этой странице).

Каждый день Земля совершает один оборот вокруг оси, соединяющей две точки, которые называются северным и южным полюсом. Кроме этого, за год она совершает один оборот вокруг Солнца, но ни Гиппарх, ни Птолемей этого не знали; напротив, они считали, что Солнце вращается вокруг Земли. Только в шестнадцатом веке после работ Коперника мы начали понимать, что в действительности Земля вращается вокруг Солнца.

Точное определение формы Земли заняло гораздо больше времени: измерить размеры Земли с точностью до сантиметра удалось только несколько десятков лет назад. Земля совсем немного отличается от сферы: она слегка сжата с полюсов, но полярный радиус (6,356 км) и экваториальный радиус (6,378 км) очень близки. Подробнее об этом можно прочитать на этой странице (по-английски).


Гиппарх предлагает нам считать, что поверхность Земли — идеальная сфера, и на её примере объясняет основы сферической геометрии. По определению, сфера — это множество точек пространства, равноудалённых от одной точки, которая называется центром. Прямая, проходящая через центр сферы, пересекает её в двух точках и является осью симметрии сферы. Мы можем думать о такой прямой как об оси вращения Земли, и тогда точки её пересечения со сферой будут северным и южным полюсом.



Плоскость, проходящая через центр сферы, пересекает сферу по окружности, которая называется большой окружностью и делит сферу на две полусферы. Если плоскость, проходящая через центр, перпендикулярна выбранной оси, окружность, по которой она пересекает сферу, называется экватором, а соответствующие полусферы — южной и северной полусферой. Плоскость, содержащая ось, пересекает сферу по большой окружности, проходящей через полюса. Такая окружность состоит из двух полуокружностей, называемых меридианами. Через каждую точку поверхности Земли, за исключением полюсов, проходит ровно один меридиан. Поскольку мы считаем Землю идеальной сферой, длины всех меридианов равны: для того, чтобы попасть по поверхности Земли из северного полюса на южный, необходимо пройти определённый путь (приблизительно 20,000 км).

Из всех меридианов Земли один выбран в качестве начала отсчёта, а именно меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию в Англии. Однако в качестве начала отсчёта можно было выбрать и любой другой меридиан (и французы предпочли бы выбрать меридиан, проходящий через Париж!). Любой другой меридиан задаётся углом, который мы называем его долготой (этот угол выделен красным на рисунке ниже). В географии принято измерять этот угол в градусах и откладывать на восток и на запад от Гринвичского меридиана.



Плоскости, перпендикулярные земной оси, высекают на сфере окружности, которые называются параллелями. Возможно, так они называются потому, что, как и параллельные прямые, не пересекают друг друга. При приближении к полюсам параллели становятся всё короче и короче. Экватор — особая параллель, расположенная посередине между полюсами; это самая длинная из параллелей. Любая другая параллель расположена или к северу, или к югу от экватора, и задаётся углом, называемым широтой (на рисунке этот угол выделен зелёным).

Каждая точка на поверхности Земли, кроме двух полюсов, расположена на пересечении параллели и меридиана, значит, мы можем вычислить её широту и долготу. И наоборот, зная широту и долготу, мы можем узнать положение точки на поверхности Земли.

Важно запомнить, что точка на поверхности Земли задаётся двумя числами. Поэтому говорят, что поверхность Земли двумерна. Это касается не только поверхности Земли, но и поверхности стола или футбольного мяча.


Конечно, мы живём на поверхности Земли только в первом приближении! Например, иногда мы летаем на самолётах. Двух чисел — широты и долготы — не хватает для того, чтобы точно задать наше положение: ещё надо знать высоту. Так что в действительности наше положение в пространстве задаётся тремя числами. Поэтому говорят, что пространство трёхмерно. К этому мы ещё вернёмся позднее.

3. Проекции



Во второй части этой главы Гиппарх объясняет одну из величайших идей в математике — идею проецирования. Земля круглая, но нам бы хотелось изобразить её на плоскости — например, на листе бумаги — чтобы получилась карта, которую можно будет включить в атлас.


Есть много способов рисовать карту Земли. Общий принцип заключается в том, чтобы выбрать часть земной поверхности и сопоставить каждой её точке p точку плоскости F(p). Таким образом, мы получаем изображение этой части земной поверхности на листе бумаги. В выборе отображения F заключена суть картографии: разные отображения подчёркивают разные свойства местности. Идеальным вариантом была бы изометрическая карта, на которой расстояние между точками p и q можно было бы измерить, померив расстояние между их образами на карте F(p) и F(q). К сожалению, такой идеальной карты не существует, и приходится идти на компромисс. Например, некоторые карты точно воспроизводят площади участков поверхности. Картография — древняя и интересная наука, развитие которой в большой мере связано с развитием математики. Недавно в развитии картографии произошёл прорыв благодаря проведению точнейших измерений и использованию компьютеров. Эти два сайта могут помочь начинающим в изучении этой науки.

Гиппарх показывает нам отображение, которое назвается учёным словом стереографическая проекция. Надо сказать, что стереографическую проекцию редко используют при составлении современных карт, если не считать карт приполярных зон. Но во время просмотра фильма мы увидим, что эта проекция довольно интересна с точки зрения математики и на самом деле очень полезна.



Она определяется очень просто. Пусть плоскость P касается поверхности Земли в южном полюсе. Для каждой точки p на сфере, отличной от северного полюса, проведём прямую pn, соединяющую точку p с северным полюсом. Эта прямая пересечёт касательную плоскость P в некоторой точке F(p). Таким образом, стереографическая проекция — это изображение сферы (без северного полюса) на плоскости P.

Кто придумал эту проекцию? Об этом у историков тоже нет единого мнения. Некоторые считают первооткрывателем Гиппарха, некоторые — Птолемея, а некоторые считают, что Гиппарх придумал стереографическую проекцию, но свойств её не изучал.


Стереографическая проекция обладает тремя важными и очень тесно взаимосвязанными свойствами.

Первое свойство, хорошо видное из фильма, заключается в том, что проецирование переводит окружность на сфере в окружность или прямую на плоскости. Если вам хватит терпения дочитать до последней главы, вы поймёте, почему.



Чтобы продемонстрировать это свойство, Гиппарх катает Землю по плоскости, касающейся её в южном полюсе. В результате Земля начинает касаться плоскости уже не южным полюсом, а проецирование происходит уже не из северного полюса, а из самой высокой точки Земли на плоскость, касающуюся Земли в самой низкой точке. В действительности катать Землю таким образом невозможно, но получаются такие хорошие проекции!

Второе свойство стереографической проекции, не показанное в фильме, заключается в том, что проецирование сохраняет углы. Это означает, что если взять на сфере две кривые, пересекающиеся под некоторым углом, то проекции этих кривых пересекутся под тем же углом. На картинке слева видно, что проекции параллелей и меридианов пересекаются под прямым углом, как и сами параллели и меридианы на сфере. Это свойство полезно для мореплавателя, который наносит на карту курс корабля. Ему очень важно, чтобы углы, которые он измеряет своими инструментами, были в точности такими же, как на карте.



Третье свойство стереографической проекции заключается в том, что хотя она и не сохраняет расстояния (что было бы идеально), она делает всё, что может. Возьмем точку p на сфере и рассмотрим очень маленькую область R вокруг p. Стереографическая проекция переводит область R в область F(R) вокруг точки F(p). Чем меньше R, тем точнее форма F приближает форму R. С точки зрения математики это значит, что существует константа k, которую можно назвать масштабом карты в R, такая, что если q1 и q2 – две точки из R, то отношение расстояния между q1 и q2 (на сфере) к расстоянию между F(q1) и F(q2) (на плоскости) почти равно k. Что же в данном случае означает слово почти? Оно означает, что это отношение приближается к k, когда R уменьшается. Менее формально, это означает, что карта правильно отображает форму очень маленьких объектов, и поэтому она называется конформной. Это принципиально важное свойство стереографической проекции: она почти идеальна для человека, который пользуется ей только вблизи от своего дома!


После этого первого рассказа давайте подведём итог уроку Гиппарха. Итак, сфера – это двумерная поверхность, так как точка на сфере описывается парой чисел: широтой и долготой. Кроме того, очень полезно изображать сферу на плоскости, используя стереографическую проекцию.

В последующих главах будет рассмотрено третье измерение... а затем и четвёртое!